楽器・音響

ギターのフレット位置（等分するのは、差ではなく比）

弦長 648mm のギター指板を 12 フレットまで実寸（1px ＝ 0.9mm）で描き、間隔がだんだん狭くなること、12 フレットがちょうど半分（324.0mm）であることを示した図と、フレット位置の式弦長 ×（1 − 2 の −n/12 乗）、半音の比 2^(1/12) ＝ 1.059463、昔からの「17.817 で割る」との一致の表

この図は、下の 1 枚の YAML から描かれています。手で図形を動かしてはいません。

正本に書いてある決まりごと

フレットの間隔は、だんだん狭くなる。弦長 648mm のとき、ナット〜1 フレットは 36.4mm、11〜12 フレットは 19.3mm ——同じ半音でも、長さは半分近くまで縮む。

12 フレットがちょうど半分（324.0mm）。弦長が半分になると 1 オクターブ上がり、そこから先は同じ形が半分の大きさで繰り返す。

位置は 1 つの式で出る。n 番目のフレットまでの距離＝弦長 ×（1 − 2 の −n/12 乗）648 ×（1 − 2^(−1/12)）＝ 36.4mm、648 ×（1 − 2^(−12/12)）＝ 324.0mm。

等分するのは、差ではなく比。1 オクターブは周波数が 2 倍。それを半音 12 個で等分するのだから、1 回ぶんは 2 の 1/12 乗＝ 1.059463（12 回かけるとちょうど 2）。音の高さは比で感じるので、足し算ではなくかけ算で等分する ——フレットの間隔が狭くなるのはそのため。

「17.817 で割る」も、同じもの。 昔は 18 で割っていた（18 の法則。16 世紀の V. ガリレイの 18:17）。残りの弦長を 17.817 で割った所に次のフレットを置く、を繰り返す。17.817 ＝ 1 ÷（1 − 1/1.059463） で、648 ÷ 17.817 ＝ 36.4mm ——べき乗を計算せずに同じ位置が出る。 18 は、それを手で扱える数にした近似（12 フレットで約 2mm ナット寄りに出る）。

数はすべて計算で確かめた（フレット位置・半音の比・17.817 との一致）。

同じ題材で、見本 204 もある。 204 は寸法（12√2 と実際の位置）、こちらは「等分するのは、差ではなく比」という理屈のほう。